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2012数学高考统一练习题(文科)

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2012-04-12

(Ⅰ)求数列 、 的通项公式;

(Ⅱ)求数列 的前n项和Tn.

解:(Ⅰ)∵ , ,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

∴ …………………………3分

而 ,∴ ∴数列 是以1为首项,3为公比的等比数列,

∴ …………………………5分

∴ ,

在等差数列 中,∵ ,∴ 。

又因 、 、 成等比数列,设等差数列 的公差为d,

∴( ) ………………………………7分

解得d=-10,或d=2, ∵ ,∴舍去d=-10,取d=2, ∴b1=3,

∴bn=2n+1 , ………………………………9分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

∴ =( = = ………………………………14分

19、(14分)已知函数f(x)= 在x=-2处有极值.

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,求b的取值范围。

解: (Ⅰ) …………………………………………1分

由题意知: ,得a=-1,………………………2分

∴ ,

令 ,得x<-2或x>0, ………………………4分

令 ,得-2

∴f(x)的单调递增区间是(-¥,-2)和(0,+¥),

单调递减区间是(-2,0)。…………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)= ,

f(-2)= 为函数f(x)极大值,f(0)=b为极小值。…………………8分

∵函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,

∴ 或 或 或 或 ,

即 ,…………………………………………………………13分

∴ ,即b的取值范围是 。 …………………14分

20、(13分)已知椭圆 经过点 ,过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于 两点,当动直线L的斜率为2时,坐标原点O到L的距离为 .

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 过F的另一直线交椭圆于 两点,且 ,当四边形 的面积S= 时,求直线L的方程.

解:(Ⅰ)设F(c,0),则直线L的方程为2x-y-2c=0,∵坐标原点O到L的距离为 ,

∴ ,c=1。………………………………………………………2分

∵椭圆 经过点 ,∴ ,b=1,由 得 。

∴椭圆的方程为 ……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线L过点F(1,0),设其方程为y=k(x-1)( ),点A( ),C( ),

解 得, 。

∴ ,……………………………………………6分

= ……………………………8分

∵过F的另一直线交椭圆于 两点,且 , ,

∴直线BD的方程为y= (x-1) 。

把 式中k换成 ,类比可得 ,…………………………10分

∴四边形 的面积 , …………11分

解得 , ∴直线L的方程为x-y-1=0或x+y-1=0 。 ………………………13分

 

 

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