【名师点睛】①给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值;②对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式”，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式.

考点二 有关三角函数的性质问题

例3：已知函数 (Ⅰ)求 的最小正周期;(Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值。

【解析】：(Ⅰ)因为

所以 的最小正周期为

(Ⅱ)因为 于是，当 时， 取得最大值2;当 取得最小值 .

【名师点睛】对于形如 型，要通过引入辅助角化为  ( = ， = )的形式来求.

例4：已知函数 (其中 )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 .(Ⅰ)求 的解析式;(Ⅱ)当 ，求 的值域.

解(1)由最低点为 得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ，即 ， 由点 在图像上的

故       又

(2)  当 = ，即 时， 取得最大值2;当 即 时， 取得最小值-1，故 的值域为[-1,2]

【名师点睛】求函数  (或 ，或 )的单调区间(1)将 化为正.(2)将 看成一个整体，由三角函数的单调性求解.

例5：设函数 .(Ⅰ)求 的最小正周期.(Ⅱ)若函数 与 的图像关于直线 对称，求当 时 的最大值.

解：(Ⅰ) =  =   =   故 的最小正周期为T =   =8

(Ⅱ)解法一： 在 的图象上任取一点 ，它关于 的对称点  .由题设条件，点 在 的图象上，从而  =  =      当 时， ，因此 在区间 上的最大值为

解法二：因区间 关于x = 1的对称区间为 ，且 与 的图象关于x = 1对称，故 在 上的最大值为 在 上的最大值由(Ⅰ)知 =      当 时， 因此 在 上的最大值为w.w  .

【名师点睛】求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为 的形式，进而结合三角函数的性质求解，有时还要注意 的取值范围(2)将三角函数式化为关于 ， 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.

考点三 三角函数的图象变换

例6：将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是(  ).

A.         B.      C.      D.

【解析】:将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 即

的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为 ,故选A.

【名师点睛】平移变换：①沿x轴平移时，由 变为 时，“左加右减”即φ>0，左移;φ<0，右移.②沿y轴平移：由 变为 时，“上加下减”，即 >0，上移; <0，下移.伸缩变换：①沿x轴伸缩：由 变为 时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1|ω|倍.②沿y轴伸缩：由 变为 ，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍.

例7：设函数 的最小正周期为 ，且 ，则 (A) 在 单调递减  (B) 在 单调递减 (C) 在 单调递增    (D) 在 单调递增

解析：函数解析式可化为 ， 又因为该函数是偶函数，所以， ，所以该函数在 上是减函数。故选A

【名师点睛】三角函数的图像和性质是此题考查的主要内容，要确定该函数的单调性一般是先化简再化一(化成一个角的正线性函数)，然后借助图像解答。

考点四 三角恒等变换

例8：  的值等于(    )

A.                 B.                 C.                 D.

【解析】原式= ，故选A。

例9：已知函数 .(1)若 ，求 ;(2)若 ，求 的取值范围.

解：(1)

，由 得 ，

，所以 .

(2)由(1)得 ，

由 得 ，所以 ，

从而 .

例10： (    )

A.         B.         C.         D.

解：

【名师点睛】给值求值、给值求角问题. ⑴发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”;⑵寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系;⑶合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.

例11：求值：

【解析】原式=

= =

【名师点睛】合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.