例12：已知 , , ,  (Ⅰ) 求 的值;(Ⅱ) 求 的值.

解:(Ⅰ)因为 , 又 ,所以

(Ⅱ)根据(Ⅰ)，得 …8分

而 ,且 , 1

故 =

【名师点睛】善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化.角的常见变换：α+2β=(α+β)+β，(α-β2)-(α2-β)=α+β2

考点五 解三角形及实际应用

例13：在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求 的最大值.

解：(Ⅰ)由已知，根据正弦定理得

即  由余弦定理得 故   ，A=120°6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得：

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。……12分

【名师点睛】正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用.

例14：某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE= ，∠ADE= 。

(1)该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出H的值;

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时， - 最大?

[解析] (1) ，同理： ， 。 AD—AB=DB，故得 ，解得： 。

因此，算出的电视塔的高度H是124m。

(2)由题设知 ，得 ，

，(当且仅当 时，取等号)

故当 时， 最大。因为 ，则 ，所以当 时， - 最大。故所求的 是 m。

【名师点睛】将所求问题归结为一个或多个三角形问题中.运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之.

例15：如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间?

解：由题意知AB=5(3+3)(海里)，∠DBA=90°-60°=30°，

∠DAB=90°-45°=45°，∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°，

在△DAB中，由正弦定理得DBsin ∠DAB=ABsin ∠ADB，

∴DB=AB•sin ∠DABsin ∠ADB=53+3•sin 45°sin 105°=53+3•sin 45°sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°

=533+13+12=103(海里)，又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°，

BC=203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD•BC•cos ∠DBC

=300+1 200-2×103×203×12=900，∴CD=30(海里)，则需要的时间t=3030=1(小时).

答：救援船到达D点需要1小时.

【名师点睛】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等;(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出; (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解.(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.

突破训练

1、如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为

(A)        (B)        (C)          (D)

解:  函数 的图像关于点 中心对称