题型三　等差、等比数列的综合应用

例3　已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3(an-1)，其中n∈N*.

(1)证明：数列{an}为等比数列;

(2)设数列{bn}满足bn=log3an，若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和.

破题切入点　(1)利用an=Sn-Sn-1求出an与an-1之间的关系，进而用定义证明数列{an}为等比数列.

(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和.

(1)证明　由题意得an=Sn-Sn-1=32(an-an-1)(n≥2)，

∴an=3an-1，∴anan-1=3(n≥2)，

又S1=32(a1-1)=a1，解得a1=3，

∴数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列.

(2)解　由(1)得an=3n，则bn=log3an=log33n=n，

∴cn=anbn=n•3n，

设Tn=1•31+2•32+3•33+…+(n-1)•3n-1+n•3n，

3Tn=1•32+2•33+3•34+…+(n-1)•3n+n•3n+1.

∴-2Tn=31+32+33+…+3n-n•3n+1

=3(1-3n)1-3-n•3n+1，

∴Tn=(2n-1)3n+1+34.

总结提高　(1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解.

(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘.

(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a1≠0，利用等比数列求和时注意公比q是否为1.

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