(2)解：过点D作DF⊥BC于点F，

∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，(5分)

∴四边形ABFD是矩形，

∴AD=BF，AB=DF，(6分)

又∵AD=4，BC=9，

∴FC=9﹣4=5，(7分)

∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，

∴DA=DE，CB=CE，(8分)

∴DC=AD+BC=4+9=13，(9分)

在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，

∴DF= =12，

∴AB=12，(10分)

∴⊙O的半径R是6.

23.(1)证明：∵四边形OABC为矩形

∴∠OAP=∠QBP=90°,

∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90 =∠APO+∠AOP

∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ

∴

∴OA•BQ=AP•BP   ----------------------3分

(2)    由(1)知OA•BQ=AP•BP    ∴3×BQ=m(4-m)  ∴BQ=

∴CQ=3- =

即L=     (0

=

∴当m=2 时，   L(最小)=    -----------------6分

(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO=PQ .

当点P在线段AB上时，如图 (1)

△ AOP≌△BPQ  ∴PB=AO=3

△ ∴AP=4-3=1

∴ (1,3)

(图1)

当点P在线段AB的延长线上时，如图(2)

此时△QBP≌△PAO

∴PB=AO=3  ∴AP=4+3=7

∴ (7,3)

(图2)

当点P在线段AB的反向延长线上时，如图 (3)

此时∵PB>AB>AO,

∴△PQB不可能与△OPA全等,

即PQ不可能与PO相等,

此时点P不存在.

综上所述，知存在 (1,3),  (7,3).  ---------------9分

24.(1)由题意可知，当t=2(秒)时，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC= = =4，

∴OC=OP+PC=4+4=8，(2分)

又∵矩形AOCD，A(0，4)，∴D(8，4).

点P到达终点所需时间为 =4秒，点Q到达终点所需时间为 =4秒，由题意可知，t的取值范围为：0

(2)结论：△AEF的面积S不变化.

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，(5分)

∴ ，即 ，解得CE= .

由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4﹣t，则CF=CD+DF=8﹣t.(6分)

S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE

= (OA+CF)•OC+ CF•CE﹣ OA•OE

= [4+(8﹣t)]×8+ (8﹣t)• ﹣ ×4×(8+ )(8分)

化简得：S=32为定值.所以△AEF的面积S不变化，S=32.(9分)

(3)若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF.

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，(10分)

∴ ，即 ，化简得t2﹣12t+16=0，(11分)

解得：t1=6+2 ，t2=6﹣2 ，(13分)

由(1)可知，0

∴当t=(6﹣2 )秒时，四边形APQF是梯形.(14分)

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