23. 解 (1)证明：连接OD，

∵BC是⊙O的切线，                                ………… 2分

∴∠ABC=90°，

∵CD=CB，

∴∠CBD=∠CDB，                                ………… 3分

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODC=∠ABC=90°，

即OD⊥CD，                                     ………… 4分

∵点D在⊙O上，

∴CD为⊙O的切线;                      ………… 5分

(2)解：在Rt△OBF中，

∵∠ABD=30°，OF=1，

∴∠BOF=60°，OB=2，BF= ，                 …………7分

∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2 ，∠BOD=2∠BOF=120°，

∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD= ﹣ ×2 ×1= π﹣ .………… 10分

24、(1)猜想：AB=AC+CD.------------------2分

(2)猜想：AB+AC=CD.   ---------------4分

证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED.------------------5分

∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD.

在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△EAD≌△CAD.                                    ---------------7分

∴ED=CD，∠AED=∠ACD.

∴∠FED=∠ACB.                                      ----------8分

又∵∠ACB=2 ∠B，∠FED=∠B+∠EDB，.∠EDB=∠B.

∴EB=ED.

∴EA+AB=EB=ED=CD.

∴AC十AB=CD.                                  ------------11分