(Ⅱ)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由y=kx+m，x2+y2=a2.消去y并整理，得

(1+k2)x2+2kmx+m2-a2=0，

则△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0，

且x1+x2=-2km1+k2，x1x2=m2-a21+k2.

∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.

∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，

∴y1x1•y2x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 x1x2=k2，

即-2k2m21+k2+m2=0，又m≠0，

∴k2=1，即k=±1.

设点O到直线l的距离为d，则d=|m|k2+1，

∴S△OAB=12|AB|d=121+k2|x1-x2 |•|m|k2+1

=12|x1-x2 ||m|=12m2(2a2-m2).

由直线OA，OB的斜率存在，且△>0，得0

∴0

故△OAB面积的取值范围为(0，12a2).…………………………………(10分)

(Ⅲ)对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为(0，12ab).”……………………………………………………………(13分)

22.(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1，+∞).

求导数，得f ′(x)=11+x-a.

由已知，得f ′(-12)=1，即11+(-12)-a=1，∴a=1.

此时f(x)=ln(1+x)-x，f ′(x)=11+x-1=-x1+x，

当-10;当x>0时，f ′(x)<0.

∴当x=0时，f(x)取得极大值，该极大值即为最大值，

∴f(x)max=f(0)=0.……………………………………………………………(4分)

(Ⅱ)法(一)：由(Ⅰ)，得ln(1+x)-x≤0，

即ln(1+x)≤x，当且仅当x=0时，等号成立.

令x=1k(k∈N*)，则1k>ln(1+1k)，即1k>lnk+1k，

∴1k>ln(k+1)-lnk(k=1，2，…，n).

将上述n个不等式依次相加，得

1+12+13+…+1n>(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[ln(n+1)-lnn]，

∴1+12+13+…+1n>ln(n+1)(n∈N*).…………………………………(10分)

法(二)：用数学归纳法证明.

(1)当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，∴左边>右边，不等式成立.

(2)假设当n=k时，不等式成立，即1+12+13+…+1k>ln(k+1).

那么1+12+13+…+1k+1k+1>ln(k+1)+1k+1，

由(Ⅰ)，知x>ln(1+x)(x>-1，且x≠0).

令x=1k+1，则1k+1>ln(1+1k+1)=lnk+2k+1，

∴ln(k+1)+1k+1>ln(k+1)+lnk+2k+1=ln(k+2)，

∴1+12+13+…+1k+1k+1>ln(k+2).

即当n=k+1时，不等式也成立.…………………………………(10分)

根据(1)(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立.

(Ⅲ)∵f(0)=0，g(0)=b，若f(x)≤g(x)恒成立，则b≥0.

由(Ⅰ)，知f(x)max=f(0)=0.

(1)当b=0时，g(x)=0，此时f(x)≤g(x)恒成立;

(2)当b>0时，g′(x)=b(ex-1)，

当x∈(-1，0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减;

当x∈(0，+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增.

∴g(x)在x=0处取得极小值，即为最小值，

∴g(x)min=g(0)=b>0≥f(x)，即f(x)≤g(x)恒成立.

综合(1)(2)可知，实数b的取值范围为[0，+∞).………………(14分)

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