(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

35.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩

形，PA=AB=1， ,点F是PB的中点，点E在边BC

上移动。

⑴求三棱锥E-PAD的体积;

⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的

位置关系，并说明理由;

⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。

36.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等 边三角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC = 。

(I)设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD;

(Ⅱ)求三棱锥C—PAB的体积

答 案

1.如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形， ， ，侧棱 ，棱AA1与底面所成的角为 ，点F为DC1的中点.

(I)证明：OF//平面 ;

(II)求三棱锥 的体积.

解：(I) 四边形ABCD为菱形且 ，

是 的中点 . ....................2分

又点F为 的中点, 在 中， , ...................................4分

平面 ， 平面 , 平面 ..........6分

(II) 四边形ABCD为菱形,

, 又 ，

且 平面 ,

平面 ,

平面 ,

平面 平面 . ......................8分

在平面 内过 作 ，则 ，

是 与底面所成的角， . ................................10分

在 ，

故三棱锥 底面 上的高为 ，又 ，

所以，三棱锥 的体积 .

2.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点.

(1) 求证： ;

(2) 当 面积的最小值是9时，证明 平面 .

.解：(1)证明：连接 ，设 与 相交于点 。 因为四边形 是菱形，

所以 。 又因为 平面 ， 平面

为 上任意一点， 平面 ，所以 ------------------------- ------ 7分

(2)连 .由(I)，知 平面 ， 平面 ，所以 .

在 面积最小时， 最小，则 .

，解得 -------------------10分

由 且 得 平面 则 ，

又由 得 ，而 ，故 平面 --

3.如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，

PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2.

(1)求证：BC⊥PC;

(2)求证：EF//平面PDC;

(3)求三棱锥B—AEF的体积。

解证：(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形

∴BC DC

又PD 面ABCD, BC 面ABCD

∴BC PD, 又PD DC=D

∴BC 面PDC 从而BC PC--------------------4分

(Ⅱ)取PC的中点G，连结EG，GD，则

∴四边形EFGD是平行四边形。 ∴EF//GD,

又

∴EF//平面PDC.…………………---------------------8分

(Ⅲ)取BD中点O，连接EO，则EO//PD，

∵PD⊥平面ABCD，　∴EO⊥底面ABCD，

------------12分

4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(Ⅰ)求该几何体的体积;

(Ⅱ)求证：EM ∥平面ABC;

(Ⅰ)∵EA 平面ABC,∴EA AB,又AB AC, ∴AB 平面ACDE

………………6分

∵M为BD的中点，　∴MG∥CD且MG=12 CD,于是MG∥AE,且MG=AE,

所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC

5.如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， ， 交 AC 于点 M， 平面 ， ，AC=4，EA=3，FC=1.

(I)证明：EM⊥BF;

(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值.

，即 (也可由勾股定理证得).[来源:学科网ZXXK]

， 平面 .

而 平面 ，

. ………………………………………………………………………………6分

(2)延长 交 于 ，连 ，过 作 ，连结 .

由(1)知 平面 ， 平面 ，

.

而 ， 平面 .

平面 ，

，

为平面 与平面 所成的

二面角的平面角. ……………………8分

在 中， ， ，

.

由 ，得 .

，则 .

是等腰直角三角形， .

平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .

6.如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中 ， 平面 ， ， ， .

⑴求证： ;

(2)设点 在棱 上， ，若 ∥平面 ，求 的值.

(1)证明：由题意知 则

------------- 6分

(2) 过 作 // 交 于 连结 ，

∵ ∥ ，∴ ∥平面 .

又∵ ∥平面 ，∴平面 ∥平面 ，∴ ∥ .

又∵

∴ ∴ ，即 -

7.图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形， ， ，侧棱 ，棱AA1与底面所成的角为 ，点F为DC1的中点.

(I)证明：OF//平面 ;

(II)求三棱锥 的体积.

解：(I) 四边形ABCD为菱形且 ，

是 的中点 . ....................2分

又点F为 的中点, 在 中， , ...................................4分

平面 ， 平面 , 平面 ..........6分

(II) 四边形ABCD为菱形,

, 又 ，

且 平面 ,

平面 ,

平面 ,

平面 平面 . ......................8分

在平面 内过 作 ，则 ，

是 与底面所成的角， . ................................10分

在 ，

故三棱锥 底面 上的高为 ，又 ，

所以，三棱 锥 的体积

8.已知四棱锥 的底面为菱形，且 ，

, 为 的中点.

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)求点 到面 的距离.

(I)证明：连接

为等腰直角三角形

为 的中点

……………………2分

又

是等边三角形

，………………………………4分

又

，即

……………………6分