(2)若PA=AB=1，AD=3，CD= ，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积

【解析】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE 平面ABCD,所以PA⊥CE,

因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA AD=A,所以CE⊥平面PAD.

(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD ,CE=CD .

又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以

= = ,又PA⊥平面ABCD,PA=1,

所以四棱锥P-ABCD的体积等于

32.如下图(图1)等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为 的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图(图2)的一个几何体.

(1)求证：平面PAB 平面PCD;

(2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.

解：(1)证明： ，又二面角P-AB-D为

，又AD=2PA

有平面图形易知：AB 平面APD，又 ， ，

，且

，又 ， 平面PAB 平面PCD---------7分

(2)设E到平面PBC的距离为 ， AE//平面PBC

所以A 到平面PBC的距离亦为

连结AC，则 ，设PA=2

=

，设PE与平面PBC所成角为

---------------14分

33.如图，在直三棱柱 中， 90°, , 是 的中点.

(Ⅰ)求异面直线 与 所成的角;

(Ⅱ)若 为 上一点，且 ，求二面角 的大小.

解法一：

(Ⅰ)∴异面直线 与 所成的角为 . ……………………………6分

(Ⅱ) ∴所求二面角 为 .

34.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。

(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

解：(1)证明：连接 ，设 与 相交于点 。

因为四边形 是菱形，所以 。

又因为 平面 ， 平面

为 上任意一点， 平面 ，所以 --------------7分

(2)连 .由(I)，知 平面 ， 平面 ，所以 .

在 面积最小时， 最小，则 .

，解得 --------------10分

由 且 得 平面 则 ，

又由 得 ，而 ，故 平面

作 交 于点 ，则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角.

在直角三角形 中，

所以 ，设 ，则 。

由 得 。

由 得 ，即

35.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩

形，PA=AB=1， ,点F是PB的中点，点E在边BC

上移动。

⑴求三棱锥E-PAD的体积;

⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的

位置关系，并说明理由;

⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。

解：

(1)因为点E到平面PAD的距离即为1，所以

••••••••••••••••••••4分

(2)直线EF与平面PAC平行

因为E、F两点分别为边PB和BC的中点，所以EF//PC，且直线EF不在平面PAC内，直线PC在平面PAC内，所以，直线EF//面PAC

••••••••••••••••••••8分

(3)因为PA=AB且F为PB中点，所以AF⊥PB,又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC,由于地面ABCD为矩形，所以BC⊥AB,所以BC⊥面PAB,所以BC⊥AF,所以AF⊥面PBC,所以无论点E在BC上何处时，总有AF⊥PE。

36.

如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC = 。

(I)设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD;

(Ⅱ)求三棱锥C—PAB的体积

证明：

(Ⅰ)在 中，由于 ， ， ，

所以 .故 .……………………………………………2分

又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，

所以 平面 . …………………………………………………………………4分

又 平面 ，故平面 平面 .…………………………………6分

(Ⅱ)过 作 交 于 ，

由于平面 平面 ，

所以 平面 .

因此 为棱锥P-ABC的高.………………8分

又 是边长为4的等边三角形.

因此 .

又 ，………10分

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