(I)证明： ，

∴ 平面PAD， ………(6分)

∵EF//CD，∴ 平面PAD，

∵ 平面EFG，∴平面EFG 平面PAD;

(II)解：∵CD//EF，∴CD//平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离

等于D到平面EFG的距离，∴ ，

，平面EFGH 平面PAD于EH，

∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于

∴ .

18.如图，在梯形 中，

， ， ，

四边形 为矩形，平面 平面 ，

.

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)设点 为 中点，

求二面角 的余弦值.

(1)证明：

则 ， ，则得

， 面 平面 ，

面 平面

平面 . ……7分

(II)过 作 交 于点 ，连 ,

则 为二面角 的平面角，在 中， ， ，则二面角 的余弦值为 .

19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF， .

(Ⅰ)求证：BE//平面ADF;

(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB = ，EF = ，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F -BDE的体积为 ?

解(Ⅰ)过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.

因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF. ——————6分

(Ⅱ)由EF = ，EM = AB = ，得 FM = 3且 .

由 可得FD = 4，从而得DE = 2.————8分

因为 ， ，所以 平面CDFE.

所以， . ————10分

因为 ， ，所以 .

综上，当 时，三棱锥F-BDE的体积为 .

20.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF， .

(Ⅰ)求证：BE//平面ADF;

(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB = ，EF = ，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为 ?

解(Ⅰ)过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.

因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF. ——————6分

(Ⅱ)由EF = ，EM = AB = ，得FM = 3且 .

由 可得FD = 4，从而得DE = 2.————8分

因为 ， ，所以 平面CDFE.

所以， . ————10分

因为 ， ，所以 .

综上，当 时，三棱锥F-BDE的体积为 .

21. 已知正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为 .M为线段PC的中点.

(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB;

(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MB D所成角的正切值.

本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。

(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO.由条件可得PO= ，AC=2 ，PA=PC=2，CO=AO= .

因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，

所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，

又因为AP 平面MDB，OM 平面MDB，

所以PA∥平面MDB. …………6分

(Ⅱ) 解：设NC∩MO=E，由题意得BP=BC=2，且∠CPN=90°.

因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，

同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD.

所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，

又因为OM∥PA，所以∠PNC=∠MEC.

在Rt△CPN中，CP=2，NP=1，所以tan∠PNC= ，

故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2

22.如图，已知直四棱柱 ，底面 为菱形， ，

为线段 的中点， 为线段 的中点.

(Ⅰ)求证： ∥平面 ;

(Ⅱ)当 的比值为多少时， 平面 ，

并说明理由.

(Ⅰ)证明：连接 ,由题意可知点 为 的中点. 因为点 为 的中点.

在 中， .……………………………………………………………2分

又 面 ， ， .……………………6分

(Ⅱ)当 时， . ………………………………………7分

四边形 为菱形，且 ， .

四棱柱 为直四棱柱， 四边形 为矩形.

又 ， ，

四边形 为正方形， ……………………10分

在直四棱柱 中， ， ，

四边形 为菱形， .

， .

， ，又 ， .…………………13分

, .

23.如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1;

(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值.

解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.

又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.

(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线.

因为A1B∥平面B1CD，

所以A1B∥DE.

又E是BC1的中点，

所以D为A1C1的中点，

即A1D∶DC1=1.

24.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。

(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

解：(1)证明：连接 ，设 与 相交于点 。

因为四边形 是菱形，所以 。

又因为 平面 ， 平面

为 上任意一点， 平面 ，所以 ------ --------7分

(2)连 .由(I)，知 平面 ， 平面 ，所以 .

在 面积最小时， 最小，则 .

，解得 --------------10分

由 且 得 平面 则 ，

又由 得 ，而 ，故 平面

作 交 于点 ，则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角.

在直角三角形 中，

所以 ，设 ，则 。

由 得 。

由 得 ，即 --------------14分

25.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。

(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

解：(1)证明：连接 ，设 与 相交于点 。

因为四边形 是菱形，所以 。

又因为 平面 ， 平面

为 上任意一点， 平面 ，所以 --------------7分

(2)连 .由(I)，知 平面 ， 平面 ，所以 .

在 面积最小时， 最小，则 .

，解得 --------------10分

由 且 得 平面 则 ，[

又由 得 ，而 ，故 平面

作 交 于点 ，则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角.

在直角三角形 中，

所以 ，设 ，则 。

由 得 。

由 得 ，即

26.

如图：在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.

(1)求证：BC⊥A1D;

(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.

解：(1)因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O，

因为BC⊥CD，A1O∩CD=O，∴BC⊥面A1CD.

因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D.(6分)

(2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.

因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC=B，∴A1D⊥面A1BC.A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1C.

在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，∴A1C=4.

根据S△A1CD=12A1D•A1C=12A1O•CD，得到A1O=125，

在Rt△A1OB中，sin∠A1BO=A1OA1B=1255=1225.

所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225.(12分)

27.如图的几何体中， 平面 ， 平面 ，△ 为等边三角形， ， 为 的中点.

(1)求证： 平面 ;

(2)求证：平面 平面 .

(1)证明：取 的中点 ，连结 .

∵ 为 的中点，∴ 且 .

∵ 平面 ， 平面 ，

∴ ，∴ . 又 ，∴ .

∴四边形 为平行四边形，则 .

∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 .…………7分

(2)证明：∵ 为等边三角形， 为 的中点，∴

∵ 平面 ， ，∴ .

∵ ，∴ 又 ，

∴ 平面 .

∵ 平面 ， ∴平面 平面 .

28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积;

(2)证明：A1C⊥平面AB1C1;

(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.

29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积;

(2)证明：A1C⊥平面AB1C1;

(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.

解：(1)几何体的直观图如图.

四边形BB1C1C 是矩形，BB1=CC1=3，BC=1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其体积V=12×1×3×3=32 4分

(2)证明：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.

∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.

∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1，

∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.

∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.

∵B1C1∩AC1=C1，

∴A1C⊥平面AB1C1. 8分

(3)当E为棱AB的中点时，

DE∥平面AB1C1.

证明：如图，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，

∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.

∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，

∴EF∥平面AB1C1.

同理可得FD∥平面AB1C1，

又EF∩FD=F，∴平面DEF∥平面AB1C1.

而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1. 12分

30.如图，已知矩形 的边 与正方形 所在平面垂直， ， ， 是线段 的中点。

(1)求异面直线 与直线 所成的角的大小;

(2)求多面体 的表面积。

解：(1)因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角(或其补角)，…………… 2分

连结 ，在 中， 所以 ，

又 ，所以 ，所以 是等边三角形，

…………… 5分

所以 ，即异面直线 与 所成的角为 ;…………… 6分

(2) …………… 8分

…………… 10分

。

31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

(1)求证：CE⊥平面PAD;