(II)设点 到面 的距离为

…………8分

, 到面 的距离

………………………………10分

点 到面 的距离为

9.在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC都是边长为2的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点.

(1)求证：OD∥平面PAC;

(2)求证：PO⊥平面ABC;

(3)求 三棱锥P-ABC的体积.

(1) 分别为 的中点，∴ ∥

又 平面 ， 平面

∴ ∥平面 .………………………4分

(2)如图，连结

， 为 中点， ,

∴ ⊥ ， .

同理, ⊥ ， .………………6分

又 ,∴ ,∴ .

∴ ⊥ . ⊥ , ⊥ ， ,

⊥平面 .…………………………………………………………………8分

(3)由(2)可知 垂直平面

∴ 为三棱锥 的高，且

.

11如图所示,三棱柱 中, ,平面 平面 ,

又 , 与 相交于点 .

(Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值;

【解】(Ⅰ)由题知 , ,

所以 为正三角形,所以 ,………………1分[

又因为 ,且

所以 为正三角形,………………………2分

又平行四边形 的对角线相交于点 ,所以 为 的中点,

所以 …………………………3分

又平面 平面 ,且平面 平面 ,…………4分

且 平面 ………………………………5分

所以 平面 …………………………6分

(Ⅱ)〖解法一〗连结 交 于 ,取 中点 ,连结 , ,

则 ,又 平面

所以 平面 , ,……7分

所以直线 与平面 所成角为 .…………8分

而在等边 中, ,所以 , ,

同理可知, ,

在 中, ………………10分

所以 中, , .

所以 与平面 所成角的正弦值为 .……………12分

〖解法二〗由于 , 平面 ,所以 平面 ,……7分

所以点 到平面 的距离即点 到平面 的距离,

由 平面 ,所以 到平面 的距离即 ,…………………8分

也所以 与平面 所成角的正弦值为 ,…………………9分

而在等边 中, ,所以 ,

同理可知, ,所以 , ………10分

又易证 平面 ,所以 ,

也所以 , ………………………11分

所以

即 与平面 所成角的正弦值为 .

12.如图所示，直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直， 为 的中

点， ， ∥ ， .[

(Ⅰ)求证：平面 平面 ;

(Ⅱ)求证： ∥平面 ;

(Ⅲ)求四面体 的体积.

解：(Ⅰ)∵面 面 ，面 面 ， ,

∴ 面 ， 2分

又∵ 面 ，∴平面 平面 . 4分

(Ⅱ)取 的中点 ，连结 、 ，则 ,

又∵ ，∴ ， 6分

∴四边形 是平行四边形，∴ ∥ ，

又∵ 面 且 面 ，∴ ∥面 . 8分

(Ⅲ)∵ ，面 面 = ， ∴ 面 .

∴ 就是四面体 的高，且 =2. 10分

∵ = =2 =2， ∥ ，

∴

∴ ∴

13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(Ⅰ)求该几何体的体积;

(Ⅱ)求证：EM∥平面ABC;

(Ⅰ)∵EA 平面ABC,∴EA AB,又AB AC, ∴AB 平面ACDE

………………6分

∵M为BD的中点，　∴MG∥CD且MG=12 CD,于是MG∥AE,且MG=AE,

所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC.19. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， .(Ⅰ)求证： 平面

(Ⅱ)若 求 与 所成角的余弦值;

(Ⅲ)当平面 与平面 垂直时，求 的长.

证明：(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.

又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC.

(Ⅱ)设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO= .

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则

P(0，— ，2)，A(0，— ，0)，B(1，0，0)，C(0， ，0).

所以

设PB与AC所成角为 ，则 .

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 设P(0，- ，t)(t>0)，则

设平面PBC的法向量 ,则

所以 令 则 所以

同理，平面PDC的法向量

因为平面PCB⊥平面PDC,所以 =0，即 解得 所以PA=

EF= SE= (10分)

15.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF.

(1)求证：PC⊥面AEF;

(2)若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体P—AEFG的体积。

解析：(1)证明： PA⊥面ABCD,BC在面内，∴ PA⊥BC BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面PAB，又∵AE在面PAB内∴ BC⊥AE AE⊥PB,BC∩PB=B, ,∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内 AE⊥PC, AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面AEF.………5分

(2)PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面PDC, ∵GF在面PDC内∴AG⊥GF △AGF是直角三角形，由(1)可知△AEF是直角三角形， AE=AG= ,EF=GF= ∴ , 又AF= ,PF= ∴ ,∴

16.如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一 点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.

(1)证明： 平面 ;

(2)求三棱锥 的体积;

(3)在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长.

18.

解：(1)因为 平面 ，所以 ，

又 ，所以 平面 ，所以 .

由三视图可得，在 中， ， 为 中点，所以 ，

所以 平面 ，…………4分

(2)由三视图可得 ，

由⑴知 ， 平面 ，

又三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积，

所以，所求三棱锥的体积 .…………8分

(3)取 的中点 ，连接 并延长至 ，使得 ，点 即为所求.

因为 为 中点，所以 ，

因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，

连接 ， ，四边形 的对角线互相平分，

所以 为平行四边形，所以 ，又 平面 ，

所以在直角 中， .…………12分

17.已知在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， 是正三角形，平面 ⊥平面 ， 分别是 的中点.

(I)求平面 平面 ;

(II)若 是线段 上一点，求三棱锥 的体积.