16.(12分)设a>1，若对于任意的x∈[a,2a ]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，求a的取值范围.

解：∵logax+logay=3，∴logaxy=3.

∴xy=a3.∴y=a3x.

∴函数y=a3x(a>1)为减函数，

又当x=a时，y=a2，当x=2a时，y=a32a=a22 ，

∴a22，a2⊆[a，a2].∴a22≥a.

又a>1，∴a≥2.∴a的取值范围为a≥2.

17.(12分)若-3≤log12x≤-12，求f(x)=(log2x2)•(log2x4)的最大值和最小 值.

解：f(x)=(log2x-1)(log2x-2)

=(log2x)2-3log2x+2=(log2x-32)2-14.

又∵-3≤log x≤-12，∴12≤log2x≤3.

∴当log2x=32时，f(x)min=f(22)=-14;

当log2x=3时，f(x)max=f(8)=2.

18.(14分)已知函数f(x)=2x-12x+1，

(1)证明函数f(x)是R上的增函数;

(2)求函数f(x)的值域;

(3)令g(x)=xfx，判定函数g(x)的奇偶性，并证明.

解：(1)证明：设x1，x2是R内任意两个值，且x10，y2-y1=f(x2)-f(x1)=2x2-12x2+1-2x1-12x1+1 =2•2x2-2•2x12x1+12x2+1=22x2-2x12x1+12x2+1，

当x10.

又2x1+1>0,2x2+1>0，∴y2-y1>0，

∴f(x)是R上的增函数;

(2)f(x)=2x+1-22x+1=1-22x+1，

∵2x+1>1，∴0<22x+1<2，

即-2<-22x+1<0，∴-1<1-22x+1<1.

∴f(x)的值域为(-1,1);

(3)由题意知g(x)=xfx=2x+12x-1•x，

易知函数g(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，

g(-x)=(-x)•2-x+12-x-1=(-x)•1+2x1-2x=x•2x+12x-1=g(x)，

∴函数g(x)为偶函数.

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