(其它方法求出AB的长酌情给分)

在△ABE与△OED中

∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEO，

∵∠BAE=∠EOD，

∴△ABE∽△OED.…(9分)

设OE=x，则AE= ﹣x ( )，

由△ABE∽△OED得 ，

∴

∴ ( )…(10分)

∴顶点为( ， )

如答图3，当 时，OE=x= ，此时E点有1个;

当 时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个.

∴当 时，E点只有1个…(11分)

当 时，E点有2个…(12分).

【4.2012•杭州】

22.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k(x2+x﹣1)的图象交于点A(1，k)和点B(﹣1，﹣k).

(1)当k=﹣2时，求反比例函数的解析式;

(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围;

(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值.

考点： 二次函数综合题。

分析： (1)当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y= ，利用待定系数法即可求得答案;

(2)由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k<0，又由二次函数y=k(x2+x﹣1)的对称轴为x=﹣ ，可得x<﹣ 时，才能使得y随着x的增大而增大;

(3)由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q(﹣ ， k)，A(1，k)，即可得 = ，继而求得答案.

解答： 解：(1)当k=﹣2时，A(1，﹣2)，

∵A在反比例函数图象上，

∴设反比例函数的解析式为：y= ，

代入A(1，﹣2)得：﹣2= ，

解得：m=﹣2，

∴反比例函 数的解析式为：y=﹣ ;

(2)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，

∴k<0，

∵二次函数y=k(x2+x﹣1)=k(x+ )2﹣ k，的对称轴为：直线x=﹣ ，

要使二次函数y=k(x2+x﹣1)满足上述 条件，在k<0的情况下，x必须在对称轴的左边，

即x<﹣ 时，才能使得y随着x的增大而增大，

∴综上所述，k<0且x<﹣ ;

(3)由(2)可得：Q(﹣ ， k)，

∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，(如图是其中的一种情况)

∴原点O平分AB，

∴OQ=OA=OB，

作AD⊥OC，QC⊥OC，

∴OQ= = ，

∵OA= = ，

∴ = ，

解得：k=±  .

点评： 此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识.此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用.

【5.2012•烟台】

26.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)，C(3，0)，D(3，4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P，Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式;

(2)过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大?最大值为多少?

(3)在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.

考点： 二次函数综合题。

分析： (1)根据矩形的性质可以写出点A得到坐标;由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a(x ﹣1)2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式);

(2)利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6;由图形与坐标变换可以求得点P的坐标(1，4﹣t)，据此可以求得点E的 纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标;然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣ 、点A到GE的距离为 ，C到GE的距离为2﹣ ;最后根据三角形的面积公式可以求得

S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣ (t﹣2)2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1;

(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上.

解答： 解：(1)A(1，4).…(1分)

由题意知，可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4

∵抛物线过点C(3，0)，

∴0=a(3﹣1)2+4，

解得，a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4，即y=﹣x2+2x+3.…(2分)

(2)∵A(1，4)，C(3，0)，

∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6.

∵点P(1，4﹣t).…(3分)?

∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+ .…(4分)

∴点G的横坐标为1+ ，代入抛物线 的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣ .

∴GE=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣ .…(5分)

又点A到GE的距离为 ，C到GE的距离为2﹣ ，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG= •EG• + •EG(2﹣ )

= •2(t﹣ )=﹣ (t﹣2)2+1.…(7分)

当t=2时，S△ACG的最大值为1.…(8分)

(3)t= 或t=20﹣8 .…(12分)

(说明：每值各占(2分)，多出的值未舍去，每个扣1分)

点评： 本题考查了二次函数的综合题.其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法.

【6.2012•益阳】

20.已知：如图，抛物线y=a(x﹣1)2+c与x轴交于点A( ，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'(1，3)处.

(1)求原抛物线的解析式;

(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比 (约等于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据： ， ，结果可保留根号)

考点： 二次函数的应用。

分析： (1)利用P与P′(1，3)关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可;

(2)根据已知得出C，D两点坐标，进而得出“W”图案的高与宽(CD)的比.

解答： 解：(1)∵P与P′(1，3)关于x轴对称，

∴P点坐标 为(1，﹣3);       …(2分)

∵抛物线y=a(x﹣1)2+c过点A( ，0)，顶点是P(1，﹣3)，

∴ ;…(3分)

解得 ;…(4分)

则抛物线的解析式为y=(x﹣1)2﹣3，…(5分)

即y=x2﹣2x﹣2.

(2)∵CD平行x轴，P′(1，3)在CD上，

∴C、D两点纵坐标为3;          …(6分)

由(x﹣1)2﹣3=3，

解得： ， ，…(7分)

∴C、D两点的坐标分别为( ，3)，( ，3)

∴CD= …(8分)

∴“W”图案的高与宽(CD)的比= (或约等于0.6124)…(10分).