点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用，根据已知得出C，D两点坐标是解题关键.

【7.2012•广州】

24.如图，抛物线y= 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标;

(3)若直线l过点E(4，0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.

考点： 二次函数综合题。

分析： (1)A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0 ，解一元二次方程即可求解.

(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h.在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间 的距离等于h.根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.

从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标.

注意：这样的平行线有两条，如答图1所示.

(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.

因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解.

注意：这样的切线有两条，如答图2所示.

解答： 解：(1)令y=0，即 =0，

解得x1=﹣4，x2=2，

∴A、B点的坐标为A(﹣4，0)、B(2，0).

(2)S△ACB= AB•OC=9，

在Rt△AOC中，AC= = =5，

设△ACD中AC边上的高为h，则有 AC•h=9，解得h= .

如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h= ，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D.

设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h= ，

∴CE= = .

设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(﹣4，0)，B(0，3)坐标代入，

得到 ，解得 ，∴直线AC解析式为y= x+3.

直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位( 个长度单位)而形成的，

∴直线l1的解析式为y= x+3﹣ = x﹣ .

则D1的纵坐标为 ×(﹣1)﹣ = ，∴D1(﹣4， ).

同理，直线AC向上平移 个长度单位得到l2，可求得D2(﹣1， )

综上所述，D点坐标为：D1(﹣4， )，D2(﹣1， ).

(3)如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F.过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条.

连接FM，过M作MN⊥x轴于点N.

∵A(﹣4，0)，B(2，0)，∴F( ﹣1，0)，⊙F半径FM=FB=3.

又FE=5，则在Rt△MEF中，

ME= =4，sin∠MFE= ，cos∠MFE= .

在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3× = ，

FN=MN•cos∠MFE=3× = ，则ON= ，

∴M点坐标为( ， )

直线l过M( ， )，E(4，0)，

设直线l的解析式为y=kx+b，则有

，解得 ，

所以直线l的解析式为y= x+3.

同理，可以求得另一条切线的解析式为y= x﹣3.

综上所述，直线l的解析式为y= x+3或y= x﹣3.

点评： 本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运 用.难点在于第(3)问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决.本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用.

【8.2012•丽水】

24.在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB= .如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC= ，AC与y轴交于点E.

(1)求AC所在直线的函数解析式;

(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积;

(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

考点： 一次函数综合题。

分析： (1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解;

(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积;

(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线AC的交点坐标即可.

解答： 解：(1)在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE= = ，∴点E(0，2 ).

设直线AC的函数解析式为y=kx+ ，有 ，解得：k= .

∴直线AC的函数解析式为y= .

(2)在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE= = ，

设EG=3t，OG=5t，OE= = t，∴ ，得t=2，

故EG=6，OG=10，

∴S△OEG= .

(3)存在.

①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，

由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，

y=- = ，

∴点P1(10， ).

②当点Q在AB上时，

如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，

过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，

则BH=QH=14-a，

在Rt△OQH中，a2+(14-a)2=100，

解得：a1=6，a2=8，

∴Q(-6，8)或Q(-8，6).

连接QF交OP2于点M.

当Q(-6，8)时，则点M(2，4).

当Q(-8，6)时，则点M(1，3).

设直线OP2的解析式为y=kx，则

2k=4，k=2.

∴y=2x.

解方程组 ，得 .

∴P2( );

当Q(-8，6)时，则点M(1，3).

同理可求P2′( ).

综上所述，满足条件的P点坐标为(10， )或( )或( ).

点评： 此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法 ，综合性强，难度大.

【9. 2012铜仁】

25.如图，已知：直线 交x轴于点A ，交y轴于点B， 抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1，0)三点.