要到P，Q的距离相等，它应在该线段的垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

所以它在∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点处.

如图，满足条件的点有两个，即E、E′.

点评： 本题利用了角的平分线和中垂线的性质求解.

19.如图，已知AB∥DC，AD∥BC，求证：AB=CD.

考点： 全等三角形的判定与性质.

专题： 证明题.

分析： 根据平行线的性质得出∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，根据ASA推出△BAC≌△DCA，根据全等三角形的性质得出即可.

解答： 证明：∵AB∥DC，AD∥BC，

∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，

在△BAC和△DCA中

∴△BAC≌△DCA，

∴AB=CD.

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等.

20.如图，BC=20cm，DE是线段AB的垂直平分线，与BC交于点E，AC=12cm，求△ACE的周长.

考点： 线段垂直平分线的性质.

分析： 根据线段的垂直平分线的性质，可得BE=AE，

∴△ACE的周长=AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=12+20=32(cm).

解答： 解：∵DE是AB的垂直平分，

∴BE=AE.

∴△ACE的周长=AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=12+20=32(cm).

点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.

21.已知：如图，AC，BD相交，且AC=DB，AB=DC.求证：∠ABD=∠DCA.

考点： 全等三角形的判定与性质.

专题： 证明题.

分析： 连接BC，直接证明△ABC≌△DCB就可以得出∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC由等式的性质就可以得出结论.

解答： 证明：连接BC，

在△ABC和△DCB中

，

∴△ABC≌△DCB(SSS)，

∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，

∴∠ABC﹣∠DBC=∠DCB﹣∠ACB

即∠ABD=∠DCA.

点评： 本题考查了全等三角形的判定及性质的而运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

22.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，且BC=DC.求证：BE=DF.

考点： 全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.

专题： 证明题.

分析： 根据角平分线的性质就可以得出CE=CF，再由HL证明△CEB≌△CFD就可以得出结论.

解答： 证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，

∴∠F=∠CEB=90°，CE=CF.

在Rt△CEB和Rt△CFD中

，

∴△CEB≌△CFD(HL)，

∴BE=DF.

点评： 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明△CEB≌△CFD是关键.

23.(10分)(2012秋•淮南期末)如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE=CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上?说出你推断的理由.

考点： 全等三角形的应用.

分析： 首先连接EM、MF，再证明△BEM≌△CFM可得∠BME=∠FMC，再根据∠BME+∠EMC=180°，可得∠FMC+∠EMC=180，进而得到三个小石凳在一条直线上.

解答： 解：连接EM、MF，

∵AB∥CD，

∴∠B=∠C，

又∵M为BC中点，

∴BM=MC.

∴在△BEM和△CFM中 ，

∴△BEM≌△CFM(SAS)，

∴∠BME=∠FMC，

∵∠BME+∠EMC=180°，

∴∠FMC+∠EMC=180°，

∴三个小石凳在一条直线上.